解決{l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x-8y=-12$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$7x=8y-12$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 8y-12。

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

在另一個方程式 -4x+2y=3 中以 \frac{8y-12}{7} 代入 x在方程式。

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

-4 乘上 \frac{8y-12}{7}。

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

將 -\frac{32y}{7} 加到 2y。

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{48}{7}。

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{18}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7} 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

\frac{8}{7} 乘上 \frac{3}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{12-12}{7}$$

將 -\frac{12}{7} 與 \frac{12}{7} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

讓 7x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 7。

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

化簡。

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -28x+32y=48 減去 -28x+14y=21。

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

將 -28x 加到 28x。 -28x 和 28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$32y-14y=48-21$$

將 32y 加到 -14y。

$$18y=48-21$$

將 48 加到 -21。

$$18y=27$$

將兩邊同時除以 18。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 -4x+2y=3 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

2 乘上 \frac{3}{2}。

$$-4x+3=3$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-4x=0$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$