解決{l}{7x+y=27}{y=22x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + y = 27 }\\{ y = 22 x }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{27}{29}\approx 0.931034483$$

$$y = \frac{594}{29} = 20\frac{14}{29} \approx 20.482758621$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 22x。

$$y-22x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+y=27,-22x+y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+y=27$$

從方程式兩邊減去 y。

$$7x=-y+27$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+27\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -y+27。

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{27}{7}$$

在另一個方程式 -22x+y=0 中以 \frac{-y+27}{7} 代入 x在方程式。

$$-22\left(-\frac{1}{7}y+\frac{27}{7}\right)+y=0$$

-22 乘上 \frac{-y+27}{7}。

$$\frac{22}{7}y-\frac{594}{7}+y=0$$

將 \frac{22y}{7} 加到 y。

$$\frac{29}{7}y-\frac{594}{7}=0$$

將 \frac{594}{7} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{29}{7}y=\frac{594}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{594}{29}$$

在 x=-\frac{1}{7}y+\frac{27}{7} 中以 \frac{594}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{7}\times \frac{594}{29}+\frac{27}{7}$$

-\frac{1}{7} 乘上 \frac{594}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{594}{203}+\frac{27}{7}$$

將 \frac{27}{7} 與 -\frac{594}{203} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{27}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{27}{29},y=\frac{594}{29}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 22x。

$$y-22x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+y=27,-22x+y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-22&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-22\right)}&-\frac{1}{7-\left(-22\right)}\\-\frac{-22}{7-\left(-22\right)}&\frac{7}{7-\left(-22\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&-\frac{1}{29}\\\frac{22}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 27\\\frac{22}{29}\times 27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{29}\\\frac{594}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{27}{29},y=\frac{594}{29}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 22x。

$$y-22x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+y=27,-22x+y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+y=27 減去 -22x+y=0。

$$7x+22x+y-y=27$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7x+22x=27$$

將 7x 加到 22x。

$$29x=27$$

將兩邊同時除以 29。

$$x=\frac{27}{29}$$

在 -22x+y=0 中以 \frac{27}{29} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-22\times \frac{27}{29}+y=0$$

-22 乘上 \frac{27}{29}。

$$-\frac{594}{29}+y=0$$

將 \frac{594}{29} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{594}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{27}{29},y=\frac{594}{29}$$