Solve {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-4y=-7$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$5x=4y-7$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 4y-7。

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

在另一個方程式 -6x+8y=2 中以 \frac{4y-7}{5} 代入 x在方程式。

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

-6 乘上 \frac{4y-7}{5}。

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

將 -\frac{24y}{5} 加到 8y。

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{42}{5}。

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{16}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

\frac{4}{5} 乘上 -2。

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

將 -\frac{7}{5} 與 -\frac{8}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

讓 5x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

化簡。

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x+24y=42 減去 -30x+40y=10。

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y-40y=42-10$$

將 24y 加到 -40y。

$$-16y=42-10$$

將 42 加到 -10。

$$-16y=32$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=-2$$

在 -6x+8y=2 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

8 乘上 -2。

$$-6x-16=2$$

將 16 加到方程式的兩邊。

$$-6x=18$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-2$$