解決{l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y=13$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y+13$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 2y+13。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

在另一個方程式 -2x+2y=1 中以 \frac{y}{2}+\frac{13}{4} 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

-2 乘上 \frac{y}{2}+\frac{13}{4}。

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

將 -y 加到 2y。

$$y-\frac{13}{2}=1$$

將 \frac{13}{2} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{15}{2}$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4} 中以 \frac{15}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

\frac{1}{2} 乘上 \frac{15}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{15+13}{4}$$

將 \frac{13}{4} 與 \frac{15}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

讓 4x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

化簡。

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x+4y=-26 減去 -8x+8y=4。

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-8y=-26-4$$

將 4y 加到 -8y。

$$-4y=-26-4$$

將 -26 加到 -4。

$$-4y=-30$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=\frac{15}{2}$$

在 -2x+2y=1 中以 \frac{15}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

2 乘上 \frac{15}{2}。

$$-2x+15=1$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-2x=-14$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$