解決{l}{2x-y=4}{y=x+3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=4,-x+y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+4。

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

在另一個方程式 -x+y=3 中以 \frac{y}{2}+2 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

-1 乘上 \frac{y}{2}+2。

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

將 -\frac{y}{2} 加到 y。

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{2}y=5$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=10$$

在 x=\frac{1}{2}y+2 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

\frac{1}{2} 乘上 10。

$$x=5+2$$

將 2 加到 5。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=10$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=4,-x+y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=10$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=4,-x+y=3$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

化簡。

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+y=-4 減去 -2x+2y=6。

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-2y=-4-6$$

將 y 加到 -2y。

$$-y=-4-6$$

將 -4 加到 -6。

$$-y=-10$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=10$$

在 -x+y=3 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+10=3$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-x=-7$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=10$$