解決{l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$12x-4y=-4$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$12x=4y-4$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

\frac{1}{12} 乘上 -4+4y。

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 3x+8y=17 中以 \frac{-1+y}{3} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

3 乘上 \frac{-1+y}{3}。

$$y-1+8y=17$$

將 y 加到 8y。

$$9y-1=17$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$9y=18$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=2$$

在 x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 2。

$$x=\frac{2-1}{3}$$

將 -\frac{1}{3} 與 \frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

讓 12x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 12。

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

化簡。

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 36x-12y=-12 減去 36x+96y=204。

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

將 36x 加到 -36x。 36x 和 -36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12y-96y=-12-204$$

將 -12y 加到 -96y。

$$-108y=-12-204$$

將 -12 加到 -204。

$$-108y=-216$$

將兩邊同時除以 -108。

$$y=2$$

在 3x+8y=17 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+8\times 2=17$$

8 乘上 2。

$$3x+16=17$$

從方程式兩邊減去 16。

$$3x=1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=2$$