解決{l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-5x+y=-11$$

從方程式兩邊減去 y。

$$-5x=-y-11$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

-\frac{1}{5} 乘上 -y-11。

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

在另一個方程式 4x-6y=14 中以 \frac{11+y}{5} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

4 乘上 \frac{11+y}{5}。

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

將 \frac{4y}{5} 加到 -6y。

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

從方程式兩邊減去 \frac{44}{5}。

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{26}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

\frac{1}{5} 乘上 -1。

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

將 \frac{11}{5} 與 -\frac{1}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

讓 -5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

化簡。

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -20x+4y=-44 減去 -20x+30y=-70。

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

將 -20x 加到 20x。 -20x 和 20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-30y=-44+70$$

將 4y 加到 -30y。

$$-26y=-44+70$$

將 -44 加到 70。

$$-26y=26$$

將兩邊同時除以 -26。

$$y=-1$$

在 4x-6y=14 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

-6 乘上 -1。

$$4x+6=14$$

從方程式兩邊減去 6。

$$4x=8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=-1$$