解決{l}{-10x+4y=-18}{x=y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ - 10 x + 4 y = - 18 }\\{ x = y }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-10x+4y=-18,x-y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-10x+4y=-18$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-10x=-4y-18$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-\frac{1}{10}\left(-4y-18\right)$$

-\frac{1}{10} 乘上 -4y-18。

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}$$

在另一個方程式 x-y=0 中以 \frac{2y+9}{5} 代入 x在方程式。

$$\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}-y=0$$

將 \frac{2y}{5} 加到 -y。

$$-\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{5}。

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{9}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=\frac{2}{5}y+\frac{9}{5} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{9}{5}$$

\frac{2}{5} 乘上 3。

$$x=\frac{6+9}{5}$$

將 \frac{9}{5} 與 \frac{6}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-10x+4y=-18,x-y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{-10\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{-10\left(-1\right)-4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-18\right)\\-\frac{1}{6}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-10x+4y=-18,x-y=0$$

讓 -10x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10。

$$-10x+4y=-18,-10x-10\left(-1\right)y=0$$

化簡。

$$-10x+4y=-18,-10x+10y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x+4y=-18 減去 -10x+10y=0。

$$-10x+10x+4y-10y=-18$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-10y=-18$$

將 4y 加到 -10y。

$$-6y=-18$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=3$$

在 x-y=0 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3=0$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=3$$