解決{l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=17$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 -1，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 3\left(y+1\right)，這是 y+1,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

計算 3 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$3x+3=y+1$$

從兩邊減去 y。

$$3x+3-y=1$$

從兩邊減去 3。

$$3x-y=1-3$$

從 1 減去 3 會得到 -2。

$$3x-y=-2$$

考慮第二個方程式。 變數 y 不能等於 1，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4\left(y-1\right)，這是 y-1,4 的最小公倍數。

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

計算 4 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$4x-4=y-1$$

從兩邊減去 y。

$$4x-4-y=-1$$

新增 4 至兩側。

$$4x-y=-1+4$$

將 -1 與 4 相加可以得到 3。

$$4x-y=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=-2$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y-2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y-2。

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 4x-y=3 中以 \frac{-2+y}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

4 乘上 \frac{-2+y}{3}。

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

將 \frac{4y}{3} 加到 -y。

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

將 \frac{8}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

將兩邊同時乘上 3。

$$y=17$$

在 x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} 中以 17 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 17。

$$x=\frac{17-2}{3}$$

將 -\frac{2}{3} 與 \frac{17}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=17$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 -1，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 3\left(y+1\right)，這是 y+1,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

計算 3 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$3x+3=y+1$$

從兩邊減去 y。

$$3x+3-y=1$$

從兩邊減去 3。

$$3x-y=1-3$$

從 1 減去 3 會得到 -2。

$$3x-y=-2$$

考慮第二個方程式。 變數 y 不能等於 1，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4\left(y-1\right)，這是 y-1,4 的最小公倍數。

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

計算 4 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$4x-4=y-1$$

從兩邊減去 y。

$$4x-4-y=-1$$

新增 4 至兩側。

$$4x-y=-1+4$$

將 -1 與 4 相加可以得到 3。

$$4x-y=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=17$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 -1，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 3\left(y+1\right)，這是 y+1,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

計算 3 乘上 x+1 時使用乘法分配律。

$$3x+3=y+1$$

從兩邊減去 y。

$$3x+3-y=1$$

從兩邊減去 3。

$$3x-y=1-3$$

從 1 減去 3 會得到 -2。

$$3x-y=-2$$

考慮第二個方程式。 變數 y 不能等於 1，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4\left(y-1\right)，這是 y-1,4 的最小公倍數。

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

計算 4 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$4x-4=y-1$$

從兩邊減去 y。

$$4x-4-y=-1$$

新增 4 至兩側。

$$4x-y=-1+4$$

將 -1 與 4 相加可以得到 3。

$$4x-y=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-y=-2 減去 4x-y=3。

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-4x=-2-3$$

將 3x 加到 -4x。

$$-x=-2-3$$

將 -2 加到 -3。

$$-x=-5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=5$$

在 4x-y=3 中以 5 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4\times 5-y=3$$

4 乘上 5。

$$20-y=3$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-y=-17$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=17$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=17$$