解決{r}{x-7y=-11}{5x+2y=-18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { x - 7 y = - 11 } \\ { 5 x + 2 y = - 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-7y=-11$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$x=7y-11$$

在另一個方程式 5x+2y=-18 中以 7y-11 代入 x在方程式。

$$5\left(7y-11\right)+2y=-18$$

5 乘上 7y-11。

$$35y-55+2y=-18$$

將 35y 加到 2y。

$$37y-55=-18$$

將 55 加到方程式的兩邊。

$$37y=37$$

將兩邊同時除以 37。

$$y=1$$

在 x=7y-11 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7-11$$

將 -11 加到 7。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{2-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&\frac{7}{37}\\-\frac{5}{37}&\frac{1}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\left(-11\right)+\frac{7}{37}\left(-18\right)\\-\frac{5}{37}\left(-11\right)+\frac{1}{37}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\left(-7\right)y=5\left(-11\right),5x+2y=-18$$

化簡。

$$5x-35y=-55,5x+2y=-18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-35y=-55 減去 5x+2y=-18。

$$5x-5x-35y-2y=-55+18$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-35y-2y=-55+18$$

將 -35y 加到 -2y。

$$-37y=-55+18$$

將 -55 加到 18。

$$-37y=-37$$

將兩邊同時除以 -37。

$$y=1$$

在 5x+2y=-18 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+2=-18$$

從方程式兩邊減去 2。

$$5x=-20$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=1$$