解決{r}{x+4y=40}{-x+8y=68} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 40 } \\ { - x + 8 y = 68 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=40$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+40$$

在另一個方程式 -x+8y=68 中以 -4y+40 代入 x在方程式。

$$-\left(-4y+40\right)+8y=68$$

-1 乘上 -4y+40。

$$4y-40+8y=68$$

將 4y 加到 8y。

$$12y-40=68$$

將 40 加到方程式的兩邊。

$$12y=108$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=9$$

在 x=-4y+40 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times 9+40$$

-4 乘上 9。

$$x=-36+40$$

將 40 加到 -36。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{8-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{8-4\left(-1\right)}&\frac{1}{8-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 40-\frac{1}{3}\times 68\\\frac{1}{12}\times 40+\frac{1}{12}\times 68\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

讓 x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-x-4y=-40,-x+8y=68$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x-4y=-40 減去 -x+8y=68。

$$-x+x-4y-8y=-40-68$$

將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-8y=-40-68$$

將 -4y 加到 -8y。

$$-12y=-40-68$$

將 -40 加到 -68。

$$-12y=-108$$

將兩邊同時除以 -12。

$$y=9$$

在 -x+8y=68 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+8\times 9=68$$

8 乘上 9。

$$-x+72=68$$

從方程式兩邊減去 72。

$$-x=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=9$$