解決{r}{x+4y=25}{-4x+3y=52} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-7$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=25$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+25$$

在另一個方程式 -4x+3y=52 中以 -4y+25 代入 x在方程式。

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

-4 乘上 -4y+25。

$$16y-100+3y=52$$

將 16y 加到 3y。

$$19y-100=52$$

將 100 加到方程式的兩邊。

$$19y=152$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=8$$

在 x=-4y+25 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times 8+25$$

-4 乘上 8。

$$x=-32+25$$

將 25 加到 -32。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-7,y=8$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

讓 x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

化簡。

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-16y=-100 減去 -4x+3y=52。

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-16y-3y=-100-52$$

將 -16y 加到 -3y。

$$-19y=-100-52$$

將 -100 加到 -52。

$$-19y=-152$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=8$$

在 -4x+3y=52 中以 8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+3\times 8=52$$

3 乘上 8。

$$-4x+24=52$$

從方程式兩邊減去 24。

$$-4x=28$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=8$$