解決{r}{x+2y=4}{3x+y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { x + 2 y = 4 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=4,3x+y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=4$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+4$$

在另一個方程式 3x+y=5 中以 -2y+4 代入 x在方程式。

$$3\left(-2y+4\right)+y=5$$

3 乘上 -2y+4。

$$-6y+12+y=5$$

將 -6y 加到 y。

$$-5y+12=5$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-5y=-7$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=\frac{7}{5}$$

在 x=-2y+4 中以 \frac{7}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{7}{5}+4$$

-2 乘上 \frac{7}{5}。

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

將 4 加到 -\frac{14}{5}。

$$x=\frac{6}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{7}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=4,3x+y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{7}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=4,3x+y=5$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 2y=3\times 4,3x+y=5$$

化簡。

$$3x+6y=12,3x+y=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+6y=12 減去 3x+y=5。

$$3x-3x+6y-y=12-5$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-y=12-5$$

將 6y 加到 -y。

$$5y=12-5$$

將 12 加到 -5。

$$5y=7$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{7}{5}$$

在 3x+y=5 中以 \frac{7}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+\frac{7}{5}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{5}。

$$3x=\frac{18}{5}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{6}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{7}{5}$$