解決{r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

解 d、q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 d: 將 d 單獨置於等號的左邊。

$$d+q=40$$

從方程式兩邊減去 q。

$$d=-q+40$$

在另一個方程式 10d+0.25q=5.8 中以 -q+40 代入 d在方程式。

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

10 乘上 -q+40。

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

將 -10q 加到 \frac{q}{4}。

$$-9.75q+400=5.8$$

從方程式兩邊減去 400。

$$-9.75q=-394.2$$

對方程式的兩邊同時除以 -9.75，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$q=\frac{2628}{65}$$

在 d=-q+40 中以 \frac{2628}{65} 代入 q。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 d。

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

將 40 加到 -\frac{2628}{65}。

$$d=-\frac{28}{65}$$

現已成功解出系統。

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 d 和 q。

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

讓 d 和 10d 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

化簡。

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10d+10q=400 減去 10d+0.25q=5.8。

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

將 10d 加到 -10d。 10d 和 -10d 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10q-0.25q=400-5.8$$

將 10q 加到 -\frac{q}{4}。

$$9.75q=400-5.8$$

將 400 加到 -5.8。

$$9.75q=394.2$$

對方程式的兩邊同時除以 9.75，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$q=\frac{2628}{65}$$

在 10d+0.25q=5.8 中以 \frac{2628}{65} 代入 q。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 d。

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

0.25 乘上 \frac{2628}{65} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

從方程式兩邊減去 \frac{657}{65}。

$$10d=-\frac{56}{13}$$

將兩邊同時除以 10。

$$d=-\frac{28}{65}$$

現已成功解出系統。

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$