解決{r}{a+b=20}{6a+2b=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=-5$$

$$b=25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$a+b=20,6a+2b=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$a+b=20$$

從方程式兩邊減去 b。

$$a=-b+20$$

在另一個方程式 6a+2b=20 中以 -b+20 代入 a在方程式。

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

6 乘上 -b+20。

$$-6b+120+2b=20$$

將 -6b 加到 2b。

$$-4b+120=20$$

從方程式兩邊減去 120。

$$-4b=-100$$

將兩邊同時除以 -4。

$$b=25$$

在 a=-b+20 中以 25 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-25+20$$

將 20 加到 -25。

$$a=-5$$

現已成功解出系統。

$$a=-5,b=25$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$a+b=20,6a+2b=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=-5,b=25$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$a+b=20,6a+2b=20$$

讓 a 和 6a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

化簡。

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6a+6b=120 減去 6a+2b=20。

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

將 6a 加到 -6a。 6a 和 -6a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6b-2b=120-20$$

將 6b 加到 -2b。

$$4b=120-20$$

將 120 加到 -20。

$$4b=100$$

將兩邊同時除以 4。

$$b=25$$

在 6a+2b=20 中以 25 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$6a+2\times 25=20$$

2 乘上 25。

$$6a+50=20$$

從方程式兩邊減去 50。

$$6a=-30$$

將兩邊同時除以 6。

$$a=-5$$

現已成功解出系統。

$$a=-5,b=25$$