解決{r}{8x+y=21}{24x-5y=23} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+y=21$$

從方程式兩邊減去 y。

$$8x=-y+21$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -y+21。

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

在另一個方程式 24x-5y=23 中以 \frac{-y+21}{8} 代入 x在方程式。

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24 乘上 \frac{-y+21}{8}。

$$-3y+63-5y=23$$

將 -3y 加到 -5y。

$$-8y+63=23$$

從方程式兩邊減去 63。

$$-8y=-40$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=5$$

在 x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8} 乘上 5。

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

將 \frac{21}{8} 與 -\frac{5}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

讓 8x 和 24x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 24，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

化簡。

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 192x+24y=504 減去 192x-40y=184。

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

將 192x 加到 -192x。 192x 和 -192x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y+40y=504-184$$

將 24y 加到 40y。

$$64y=504-184$$

將 504 加到 -184。

$$64y=320$$

將兩邊同時除以 64。

$$y=5$$

在 24x-5y=23 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$24x-5\times 5=23$$

-5 乘上 5。

$$24x-25=23$$

將 25 加到方程式的兩邊。

$$24x=48$$

將兩邊同時除以 24。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=5$$