解決{r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$7x+2y=24$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$7x=-2y+24$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

\frac{1}{7} 乘上 -2y+24。

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

在另一個方程式 -8x+2y=-30 中以 \frac{-2y+24}{7} 代入 x在方程式。

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

-8 乘上 \frac{-2y+24}{7}。

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

將 \frac{16y}{7} 加到 2y。

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

將 \frac{192}{7} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{30}{7}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{3}{5}$$

在 x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} 中以 -\frac{3}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

-\frac{2}{7} 乘上 -\frac{3}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

將 \frac{24}{7} 與 \frac{6}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{18}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+2y=24 減去 -8x+2y=-30。

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7x+8x=24+30$$

將 7x 加到 8x。

$$15x=24+30$$

將 24 加到 30。

$$15x=54$$

將兩邊同時除以 15。

$$x=\frac{18}{5}$$

在 -8x+2y=-30 中以 \frac{18}{5} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

-8 乘上 \frac{18}{5}。

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

將 \frac{144}{5} 加到方程式的兩邊。

$$2y=-\frac{6}{5}$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-\frac{3}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$