解決{r}{6x+8y=k}{x+y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$6x+8y=k,x+y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$6x+8y=k$$

從方程式兩邊減去 8y。

$$6x=-8y+k$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

\frac{1}{6} 乘上 -8y+k。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

在另一個方程式 x+y=1 中以 -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} 代入 x在方程式。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

將 -\frac{4y}{3} 加到 y。

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{k}{6}。

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=\frac{k}{2}-3$$

在 x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6} 中以 -3+\frac{k}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

-\frac{4}{3} 乘上 -3+\frac{k}{2}。

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

將 \frac{k}{6} 加到 4-\frac{2k}{3}。

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$6x+8y=k,x+y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$6x+8y=k,x+y=1$$

讓 6x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 6。

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+8y=k 減去 6x+6y=6。

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-6y=k-6$$

將 8y 加到 -6y。

$$2y=k-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{k}{2}-3$$

在 x+y=1 中以 \frac{k}{2}-3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

從方程式兩邊減去 -3+\frac{k}{2}。

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$