解決{r}{5y+x=44}{y-x=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=4$$

$$y=8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5y+x=44,y-x=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$5y+x=44$$

從方程式兩邊減去 x。

$$5y=-x+44$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -x+44。

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

在另一個方程式 y-x=4 中以 \frac{-x+44}{5} 代入 y在方程式。

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

將 -\frac{x}{5} 加到 -x。

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{44}{5}。

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{6}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=4$$

在 y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5} 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 4。

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

將 \frac{44}{5} 與 -\frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=8$$

現已成功解出系統。

$$y=8,x=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5y+x=44,y-x=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=8,x=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5y+x=44,y-x=4$$

讓 5y 和 y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

化簡。

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5y+x=44 減去 5y-5x=20。

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x+5x=44-20$$

將 x 加到 5x。

$$6x=44-20$$

將 44 加到 -20。

$$6x=24$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=4$$

在 y-x=4 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y-4=4$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$y=8$$

現已成功解出系統。

$$y=8,x=4$$