解決{r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=12$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

從方程式兩邊減去 \frac{2y}{3}。

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -\frac{2y}{3}-12。

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

在另一個方程式 -6x-\frac{1}{3}y=20 中以 -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} 代入 x在方程式。

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

-6 乘上 -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}。

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

將 \frac{4y}{5} 加到 -\frac{y}{3}。

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

從方程式兩邊減去 \frac{72}{5}。

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{15}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=12$$

在 x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5} 中以 12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

-\frac{2}{15} 乘上 12。

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

將 -\frac{12}{5} 與 -\frac{8}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=12$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=12$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

讓 5x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

化簡。

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x-4y=72 減去 -30x-\frac{5}{3}y=100。

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

將 -4y 加到 \frac{5y}{3}。

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

將 72 加到 -100。

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=12$$

在 -6x-\frac{1}{3}y=20 中以 12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

-\frac{1}{3} 乘上 12。

$$-6x-4=20$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$-6x=24$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=12$$