解決{r}{4x-y=1}{3x+y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=1,3x+y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+1$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+1。

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

在另一個方程式 3x+y=9 中以 \frac{1+y}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

3 乘上 \frac{1+y}{4}。

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

將 \frac{3y}{4} 加到 y。

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{4}。

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{33}{7}$$

在 x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4} 中以 \frac{33}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} 乘上 \frac{33}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

將 \frac{1}{4} 與 \frac{33}{28} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{10}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=1,3x+y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=1,3x+y=9$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

化簡。

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-3y=3 減去 12x+4y=36。

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-4y=3-36$$

將 -3y 加到 -4y。

$$-7y=3-36$$

將 3 加到 -36。

$$-7y=-33$$

將兩邊同時除以 -7。

$$y=\frac{33}{7}$$

在 3x+y=9 中以 \frac{33}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{33}{7}。

$$3x=\frac{30}{7}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{10}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$