解決{r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y+4=0$$

從方程式兩邊減去 4。

$$4x-2y=-4$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -4+2y。

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

在另一個方程式 -4x+3y-3=0 中以 \frac{y}{2}-1 代入 x在方程式。

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

-4 乘上 \frac{y}{2}-1。

$$-2y+4+3y-3=0$$

將 -2y 加到 3y。

$$y+4-3=0$$

將 4 加到 -3。

$$y+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$y=-1$$

在 x=\frac{1}{2}y-1 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

將 -1 加到 -\frac{1}{2}。

$$x=-\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

讓 4x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

化簡。

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -16x+8y-16=0 減去 -16x+12y-12=0。

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

將 -16x 加到 16x。 -16x 和 16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-12y-16+12=0$$

將 8y 加到 -12y。

$$-4y-16+12=0$$

將 -16 加到 12。

$$-4y-4=0$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$-4y=4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=-1$$

在 -4x+3y-3=0 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

3 乘上 -1。

$$-4x-3-3=0$$

將 -3 加到 -3。

$$-4x-6=0$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$-4x=6$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$