解決{r}{22x+3y=5}{3x+2y=70} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$22x+3y=5$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$22x=-3y+5$$

將兩邊同時除以 22。

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{22} 乘上 -3y+5。

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

在另一個方程式 3x+2y=70 中以 \frac{-3y+5}{22} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

3 乘上 \frac{-3y+5}{22}。

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

將 -\frac{9y}{22} 加到 2y。

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{22}。

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{35}{22}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{305}{7}$$

在 x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22} 中以 \frac{305}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

-\frac{3}{22} 乘上 \frac{305}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

將 \frac{5}{22} 與 -\frac{915}{154} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{40}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

讓 22x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 22。

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

化簡。

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 66x+9y=15 減去 66x+44y=1540。

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

將 66x 加到 -66x。 66x 和 -66x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-44y=15-1540$$

將 9y 加到 -44y。

$$-35y=15-1540$$

將 15 加到 -1540。

$$-35y=-1525$$

將兩邊同時除以 -35。

$$y=\frac{305}{7}$$

在 3x+2y=70 中以 \frac{305}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

2 乘上 \frac{305}{7}。

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

從方程式兩邊減去 \frac{610}{7}。

$$3x=-\frac{120}{7}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{40}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$