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$\estwo{2 x + 3 y = 10}{-3 x + y = 18} $
解 x, y
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2x+3y=10,-3x+y=18
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y+10
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y+5
\frac{1}{2} 乘上 -3y+10。
-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18
在另一個方程式 -3x+y=18 中以 -\frac{3y}{2}+5 代入 x在方程式。
\frac{9}{2}y-15+y=18
-3 乘上 -\frac{3y}{2}+5。
\frac{11}{2}y-15=18
將 \frac{9y}{2} 加到 y。
\frac{11}{2}y=33
將 15 加到方程式的兩邊。
y=6
對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{2},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{2}\times 6+5
在 x=-\frac{3}{2}y+5 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-9+5
-\frac{3}{2} 乘上 6。
x=-4
將 5 加到 -9。
x=-4,y=6
現已成功解出系統。
2x+3y=10,-3x+y=18
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)
計算。
x=-4,y=6
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=10,-3x+y=18
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18
讓 2x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
-6x-9y=-30,-6x+2y=36
化簡。
-6x+6x-9y-2y=-30-36
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 -6x-9y=-30 減去 -6x+2y=36。
-9y-2y=-30-36
將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-11y=-30-36
將 -9y 加到 -2y。
-11y=-66
將 -30 加到 -36。
y=6
將兩邊同時除以 -11。
-3x+6=18
在 -3x+y=18 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
-3x=12
從方程式兩邊減去 6。
x=-4
將兩邊同時除以 -3。
x=-4,y=6
現已成功解出系統。