Solve {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=10$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+10。

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

在另一個方程式 -3x+y=18 中以 -\frac{3y}{2}+5 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

-3 乘上 -\frac{3y}{2}+5。

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

將 \frac{9y}{2} 加到 y。

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$\frac{11}{2}y=33$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=6$$

在 x=-\frac{3}{2}y+5 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

-\frac{3}{2} 乘上 6。

$$x=-9+5$$

將 5 加到 -9。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

讓 2x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

化簡。

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6x-9y=-30 減去 -6x+2y=36。

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-9y-2y=-30-36$$

將 -9y 加到 -2y。

$$-11y=-30-36$$

將 -30 加到 -36。

$$-11y=-66$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=6$$

在 -3x+y=18 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+6=18$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-3x=12$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=6$$