解決{r}{12x+3y=5}{3x+2y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$12x+3y=5$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$12x=-3y+5$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12} 乘上 -3y+5。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

在另一個方程式 3x+2y=7 中以 -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

3 乘上 -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}。

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 2y。

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{4}。

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{23}{5}$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} 中以 \frac{23}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

-\frac{1}{4} 乘上 \frac{23}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

將 \frac{5}{12} 與 -\frac{23}{20} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{11}{15}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

讓 12x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 12。

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

化簡。

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 36x+9y=15 減去 36x+24y=84。

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

將 36x 加到 -36x。 36x 和 -36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-24y=15-84$$

將 9y 加到 -24y。

$$-15y=15-84$$

將 15 加到 -84。

$$-15y=-69$$

將兩邊同時除以 -15。

$$y=\frac{23}{5}$$

在 3x+2y=7 中以 \frac{23}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

2 乘上 \frac{23}{5}。

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{46}{5}。

$$3x=-\frac{11}{5}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{11}{15}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$