解決{r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x-10y=-10$$

將 10y 加到方程式的兩邊。

$$10x=10y-10$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -10+10y。

$$x=y-1$$

在另一個方程式 -10x+8y=12 中以 y-1 代入 x在方程式。

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

-10 乘上 y-1。

$$-10y+10+8y=12$$

將 -10y 加到 8y。

$$-2y+10=12$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-2y=2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-1$$

在 x=y-1 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-1-1$$

將 -1 加到 -1。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

讓 10x 和 -10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

化簡。

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -100x+100y=100 減去 -100x+80y=120。

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

將 -100x 加到 100x。 -100x 和 100x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$100y-80y=100-120$$

將 100y 加到 -80y。

$$20y=100-120$$

將 100 加到 -120。

$$20y=-20$$

將兩邊同時除以 20。

$$y=-1$$

在 -10x+8y=12 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

8 乘上 -1。

$$-10x-8=12$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-10x=20$$

將兩邊同時除以 -10。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-1$$