解決{r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$1.2x+3y=8$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$1.2x=-3y+8$$

對方程式的兩邊同時除以 1.2，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

\frac{5}{6} 乘上 -3y+8。

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

在另一個方程式 6x-3y=10 中以 -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} 代入 x在方程式。

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

6 乘上 -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3}。

$$-15y+40-3y=10$$

將 -15y 加到 -3y。

$$-18y+40=10$$

從方程式兩邊減去 40。

$$-18y=-30$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=\frac{5}{3}$$

在 x=-2.5y+\frac{20}{3} 中以 \frac{5}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

-2.5 乘上 \frac{5}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

將 \frac{20}{3} 與 -\frac{25}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

讓 \frac{6x}{5} 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1.2。

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

化簡。

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7.2x+18y=48 減去 7.2x-3.6y=12。

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

將 \frac{36x}{5} 加到 -\frac{36x}{5}。 \frac{36x}{5} 和 -\frac{36x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$18y+3.6y=48-12$$

將 18y 加到 \frac{18y}{5}。

$$21.6y=48-12$$

將 48 加到 -12。

$$21.6y=36$$

對方程式的兩邊同時除以 21.6，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{5}{3}$$

在 6x-3y=10 中以 \frac{5}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

-3 乘上 \frac{5}{3}。

$$6x-5=10$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$6x=15$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$