解決{r}{-v+2d=-10}{d+3v=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { - v + 2 d = - 10 } \\ { d + 3 v = 9 } \end{array} \right.$$

解 v、d

$$v=4$$

$$d=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 v: 將 v 單獨置於等號的左邊。

$$-v+2d=-10$$

從方程式兩邊減去 2d。

$$-v=-2d-10$$

將兩邊同時除以 -1。

$$v=-\left(-2d-10\right)$$

-1 乘上 -2d-10。

$$v=2d+10$$

在另一個方程式 3v+d=9 中以 10+2d 代入 v在方程式。

$$3\left(2d+10\right)+d=9$$

3 乘上 10+2d。

$$6d+30+d=9$$

將 6d 加到 d。

$$7d+30=9$$

從方程式兩邊減去 30。

$$7d=-21$$

將兩邊同時除以 7。

$$d=-3$$

在 v=2d+10 中以 -3 代入 d。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 v。

$$v=2\left(-3\right)+10$$

2 乘上 -3。

$$v=-6+10$$

將 10 加到 -6。

$$v=4$$

現已成功解出系統。

$$v=4,d=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&-\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-10\right)+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\left(-10\right)+\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 v 和 d。

$$v=4,d=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

讓 -v 和 3v 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$3\left(-1\right)v+3\times 2d=3\left(-10\right),-3v-d=-9$$

化簡。

$$-3v+6d=-30,-3v-d=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3v+6d=-30 減去 -3v-d=-9。

$$-3v+3v+6d+d=-30+9$$

將 -3v 加到 3v。 -3v 和 3v 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6d+d=-30+9$$

將 6d 加到 d。

$$7d=-30+9$$

將 -30 加到 9。

$$7d=-21$$

將兩邊同時除以 7。

$$d=-3$$

在 3v+d=9 中以 -3 代入 d。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 v。

$$3v-3=9$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$3v=12$$

將兩邊同時除以 3。

$$v=4$$

現已成功解出系統。

$$v=4,d=-3$$