解決{r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-6x+21y=-24$$

從方程式兩邊減去 21y。

$$-6x=-21y-24$$

將兩邊同時除以 -6。

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

-\frac{1}{6} 乘上 -21y-24。

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

在另一個方程式 6x-4y=24 中以 \frac{7y}{2}+4 代入 x在方程式。

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

6 乘上 \frac{7y}{2}+4。

$$21y+24-4y=24$$

將 21y 加到 -4y。

$$17y+24=24$$

從方程式兩邊減去 24。

$$17y=0$$

將兩邊同時除以 17。

$$y=0$$

在 x=\frac{7}{2}y+4 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

讓 -6x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6。

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

化簡。

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -36x+126y=-144 減去 -36x+24y=-144。

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

將 -36x 加到 36x。 -36x 和 36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$126y-24y=-144+144$$

將 126y 加到 -24y。

$$102y=-144+144$$

將 -144 加到 144。

$$102y=0$$

將兩邊同時除以 102。

$$y=0$$

在 6x-4y=24 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x=24$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=0$$