解決{r}{-3x+7y=8}{7x-2y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { - 3 x + 7 y = 8 } \\ { 7 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-3x+7y=8,7x-2y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-3x+7y=8$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$-3x=-7y+8$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-7y+8\right)$$

-\frac{1}{3} 乘上 -7y+8。

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 7x-2y=10 中以 \frac{7y-8}{3} 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=10$$

7 乘上 \frac{7y-8}{3}。

$$\frac{49}{3}y-\frac{56}{3}-2y=10$$

將 \frac{49y}{3} 加到 -2y。

$$\frac{43}{3}y-\frac{56}{3}=10$$

將 \frac{56}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{43}{3}y=\frac{86}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{43}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=\frac{7}{3}y-\frac{8}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

\frac{7}{3} 乘上 2。

$$x=\frac{14-8}{3}$$

將 -\frac{8}{3} 與 \frac{14}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-3x+7y=8,7x-2y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&7\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-3\left(-2\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-3\left(-2\right)-7\times 7}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{43}&\frac{7}{43}\\\frac{7}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{43}\times 8+\frac{7}{43}\times 10\\\frac{7}{43}\times 8+\frac{3}{43}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-3x+7y=8,7x-2y=10$$

讓 -3x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3。

$$7\left(-3\right)x+7\times 7y=7\times 8,-3\times 7x-3\left(-2\right)y=-3\times 10$$

化簡。

$$-21x+49y=56,-21x+6y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -21x+49y=56 減去 -21x+6y=-30。

$$-21x+21x+49y-6y=56+30$$

將 -21x 加到 21x。 -21x 和 21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$49y-6y=56+30$$

將 49y 加到 -6y。

$$43y=56+30$$

將 56 加到 30。

$$43y=86$$

將兩邊同時除以 43。

$$y=2$$

在 7x-2y=10 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-2\times 2=10$$

-2 乘上 2。

$$7x-4=10$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$7x=14$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=2$$