解決{r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=3$$

$$b=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$-2a+3b=0$$

從方程式兩邊減去 3b。

$$-2a=-3b$$

將兩邊同時除以 -2。

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

-\frac{1}{2} 乘上 -3b。

$$a=\frac{3}{2}b$$

在另一個方程式 2a+5b=16 中以 \frac{3b}{2} 代入 a在方程式。

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

2 乘上 \frac{3b}{2}。

$$3b+5b=16$$

將 3b 加到 5b。

$$8b=16$$

將兩邊同時除以 8。

$$b=2$$

在 a=\frac{3}{2}b 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

\frac{3}{2} 乘上 2。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

讓 -2a 和 2a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

化簡。

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4a+6b=0 減去 -4a-10b=-32。

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

將 -4a 加到 4a。 -4a 和 4a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6b+10b=32$$

將 6b 加到 10b。

$$16b=32$$

將兩邊同時除以 16。

$$b=2$$

在 2a+5b=16 中以 2 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$2a+5\times 2=16$$

5 乘上 2。

$$2a+10=16$$

從方程式兩邊減去 10。

$$2a=6$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=2$$