解決{l}{y=x-7}{y=-2x-1} |Microsoft數學求解器

解 y, x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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https://socratic.org/questions/what-is-3x-8y-20-5x-y-19

https://math.stackexchange.com/questions/1013409/preserving-orbits-by-multiplication-with-a-non-vanishing-function

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y-x=-7

考慮第一個方程式。從兩邊減去 x。

y+2x=-1

考慮第二個方程式。新增 2x 至兩側。

y-x=-7,y+2x=-1

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y-x=-7

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=x-7

將 x 加到方程式的兩邊。

x-7+2x=-1

在另一個方程式 y+2x=-1 中以 x-7 代入 y在方程式。

3x-7=-1

將 x 加到 2x。

3x=6

將 7 加到方程式的兩邊。

x=2

將兩邊同時除以 3。

y=2-7

在 y=x-7 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-5

將 -7 加到 2。

y=-5,x=2

現已成功解出系統。

y-x=-7

考慮第一個方程式。從兩邊減去 x。

y+2x=-1

考慮第二個方程式。新增 2x 至兩側。

y-x=-7,y+2x=-1

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)

計算。

y=-5,x=2

解出矩陣元素 y 和 x。

y-x=-7

考慮第一個方程式。從兩邊減去 x。

y+2x=-1

考慮第二個方程式。新增 2x 至兩側。

y-x=-7,y+2x=-1

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

y-y-x-2x=-7+1