解決{l}{y=x-1}{x+y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 1 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

解 y, x

$$x=2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-x=-1,y+x=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-x=-1$$

將 x 加到方程式的兩邊。

$$y=x-1$$

在另一個方程式 y+x=3 中以 x-1 代入 y在方程式。

$$x-1+x=3$$

將 x 加到 x。

$$2x-1=3$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$2x=4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=2$$

在 y=x-1 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=2-1$$

將 -1 加到 2。

$$y=1$$

現已成功解出系統。

$$y=1,x=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-x=-1,y+x=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=1,x=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=-1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-x=-1,y+x=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-x=-1 減去 y+x=3。

$$y-y-x-x=-1-3$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-x-x=-1-3$$

將 -x 加到 -x。

$$-2x=-1-3$$

將 -1 加到 -3。

$$-2x=-4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=2$$

在 y+x=3 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+2=3$$

從方程式兩邊減去 2。

$$y=1$$

現已成功解出系統。

$$y=1,x=2$$