解決{l}{y=8x-11}{y=x+2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 11 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 8x。

$$y-8x=-11$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-8x=-11,y-x=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-8x=-11$$

將 8x 加到方程式的兩邊。

$$y=8x-11$$

在另一個方程式 y-x=2 中以 8x-11 代入 y在方程式。

$$8x-11-x=2$$

將 8x 加到 -x。

$$7x-11=2$$

將 11 加到方程式的兩邊。

$$7x=13$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{13}{7}$$

在 y=8x-11 中以 \frac{13}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=8\times \frac{13}{7}-11$$

8 乘上 \frac{13}{7}。

$$y=\frac{104}{7}-11$$

將 -11 加到 \frac{104}{7}。

$$y=\frac{27}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 8x。

$$y-8x=-11$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-8x=-11,y-x=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-11\right)+\frac{8}{7}\times 2\\-\frac{1}{7}\left(-11\right)+\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 8x。

$$y-8x=-11$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-8x=-11,y-x=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-8x=-11 減去 y-x=2。

$$y-y-8x+x=-11-2$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8x+x=-11-2$$

將 -8x 加到 x。

$$-7x=-11-2$$

將 -11 加到 -2。

$$-7x=-13$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=\frac{13}{7}$$

在 y-x=2 中以 \frac{13}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y-\frac{13}{7}=2$$

將 \frac{13}{7} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{27}{7}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$