解決{l}{y=5x+3}{y=-2x-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=3$$

考慮第二個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-5x=3$$

將 5x 加到方程式的兩邊。

$$y=5x+3$$

在另一個方程式 y+2x=-4 中以 5x+3 代入 y在方程式。

$$5x+3+2x=-4$$

將 5x 加到 2x。

$$7x+3=-4$$

從方程式兩邊減去 3。

$$7x=-7$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-1$$

在 y=5x+3 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=5\left(-1\right)+3$$

5 乘上 -1。

$$y=-5+3$$

將 3 加到 -5。

$$y=-2$$

現已成功解出系統。

$$y=-2,x=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=3$$

考慮第二個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-2,x=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 5x。

$$y-5x=3$$

考慮第二個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-5x=3 減去 y+2x=-4。

$$y-y-5x-2x=3+4$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5x-2x=3+4$$

將 -5x 加到 -2x。

$$-7x=3+4$$

將 3 加到 4。

$$-7x=7$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-1$$

在 y+2x=-4 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

2 乘上 -1。

$$y-2=-4$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$y=-2$$

現已成功解出系統。

$$y=-2,x=-1$$