解決{l}{y=5-x}{1=4x+3y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 - x } \\ { 1 = 4 x + 3 y } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-14$$

$$y=19$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=5$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$4x+3y=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+x=5,3y+4x=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+x=5$$

從方程式兩邊減去 x。

$$y=-x+5$$

在另一個方程式 3y+4x=1 中以 -x+5 代入 y在方程式。

$$3\left(-x+5\right)+4x=1$$

3 乘上 -x+5。

$$-3x+15+4x=1$$

將 -3x 加到 4x。

$$x+15=1$$

從方程式兩邊減去 15。

$$x=-14$$

在 y=-x+5 中以 -14 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\left(-14\right)+5$$

-1 乘上 -14。

$$y=14+5$$

將 5 加到 14。

$$y=19$$

現已成功解出系統。

$$y=19,x=-14$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=5$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$4x+3y=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+x=5,3y+4x=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-3}&-\frac{1}{4-3}\\-\frac{3}{4-3}&\frac{1}{4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 5-1\\-3\times 5+1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-14\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=19,x=-14$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=5$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$4x+3y=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+x=5,3y+4x=1$$

讓 y 和 3y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3y+3x=3\times 5,3y+4x=1$$

化簡。

$$3y+3x=15,3y+4x=1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3y+3x=15 減去 3y+4x=1。

$$3y-3y+3x-4x=15-1$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-4x=15-1$$

將 3x 加到 -4x。

$$-x=15-1$$

將 15 加到 -1。

$$-x=14$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-14$$

在 3y+4x=1 中以 -14 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3y+4\left(-14\right)=1$$

4 乘上 -14。

$$3y-56=1$$

將 56 加到方程式的兩邊。

$$3y=57$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=19$$

現已成功解出系統。

$$y=19,x=-14$$