解決{l}{y=4x-2}{y=-x+18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = - x + 18 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=4$$

$$y=14$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$y-4x=-2$$

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=18$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-4x=-2,y+x=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-4x=-2$$

將 4x 加到方程式的兩邊。

$$y=4x-2$$

在另一個方程式 y+x=18 中以 4x-2 代入 y在方程式。

$$4x-2+x=18$$

將 4x 加到 x。

$$5x-2=18$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$5x=20$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=4$$

在 y=4x-2 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=4\times 4-2$$

4 乘上 4。

$$y=16-2$$

將 -2 加到 16。

$$y=14$$

現已成功解出系統。

$$y=14,x=4$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$y-4x=-2$$

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=18$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-4x=-2,y+x=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 18\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=14,x=4$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$y-4x=-2$$

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=18$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-4x=-2,y+x=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-4x=-2 減去 y+x=18。

$$y-y-4x-x=-2-18$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4x-x=-2-18$$

將 -4x 加到 -x。

$$-5x=-2-18$$

將 -2 加到 -18。

$$-5x=-20$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=4$$

在 y+x=18 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+4=18$$

從方程式兩邊減去 4。

$$y=14$$

現已成功解出系統。

$$y=14,x=4$$