解決{l}{y=3x-2}{x-y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-1$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$y-3x=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-3x=-2,-y+x=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-3x=-2$$

將 3x 加到方程式的兩邊。

$$y=3x-2$$

在另一個方程式 -y+x=4 中以 3x-2 代入 y在方程式。

$$-\left(3x-2\right)+x=4$$

-1 乘上 3x-2。

$$-3x+2+x=4$$

將 -3x 加到 x。

$$-2x+2=4$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-2x=2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-1$$

在 y=3x-2 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=3\left(-1\right)-2$$

3 乘上 -1。

$$y=-3-2$$

將 -2 加到 -3。

$$y=-5$$

現已成功解出系統。

$$y=-5,x=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$y-3x=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-3x=-2,-y+x=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{3}{2}\times 4\\-\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-5,x=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$y-3x=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-3x=-2,-y+x=4$$

讓 y 和 -y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-2\right),-y+x=4$$

化簡。

$$-y+3x=2,-y+x=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -y+3x=2 減去 -y+x=4。

$$-y+y+3x-x=2-4$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3x-x=2-4$$

將 3x 加到 -x。

$$2x=2-4$$

將 2 加到 -4。

$$2x=-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-1$$

在 -y+x=4 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-y-1=4$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$-y=5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-5$$

現已成功解出系統。

$$y=-5,x=-1$$