解決{l}{y=2x-7}{y=-3x-2} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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https://socratic.org/questions/we-have-matrix-a-2-x-y-3-and-b-y-3-5-2x-a-binmm-2-2-cc-how-you-find-x-y-such-tha

https://socratic.org/questions/if-a-3-x-2y-0-and-b-4-6-3-1-what-is-a-b

https://math.stackexchange.com/q/612198

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y-2x=-7

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y+3x=-2

考慮第二個方程式。新增 3x 至兩側。

y-2x=-7,y+3x=-2

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y-2x=-7

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=2x-7

將 2x 加到方程式的兩邊。

2x-7+3x=-2

在另一個方程式 y+3x=-2 中以 2x-7 代入 y在方程式。

5x-7=-2

將 2x 加到 3x。

5x=5

將 7 加到方程式的兩邊。

x=1

將兩邊同時除以 5。

y=2-7

在 y=2x-7 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-5

將 -7 加到 2。

y=-5,x=1

現已成功解出系統。

y-2x=-7

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y+3x=-2

考慮第二個方程式。新增 3x 至兩側。

y-2x=-7,y+3x=-2

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-7\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-7\right)+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)

計算。

y=-5,x=1

解出矩陣元素 y 和 x。

y-2x=-7

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y+3x=-2

考慮第二個方程式。新增 3x 至兩側。

y-2x=-7,y+3x=-2

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

y-y-2x-3x=-7+2