解決{l}{y=2x+8}{3x+2y=-12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

解 y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-2x=8$$

將 2x 加到方程式的兩邊。

$$y=2x+8$$

在另一個方程式 2y+3x=-12 中以 8+2x 代入 y在方程式。

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

2 乘上 8+2x。

$$4x+16+3x=-12$$

將 4x 加到 3x。

$$7x+16=-12$$

從方程式兩邊減去 16。

$$7x=-28$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-4$$

在 y=2x+8 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=2\left(-4\right)+8$$

2 乘上 -4。

$$y=-8+8$$

將 8 加到 -8。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=-4$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=0,x=-4$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

讓 y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

化簡。

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-4x=16 減去 2y+3x=-12。

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4x-3x=16+12$$

將 -4x 加到 -3x。

$$-7x=16+12$$

將 16 加到 12。

$$-7x=28$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=-4$$

在 2y+3x=-12 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

3 乘上 -4。

$$2y-12=-12$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$2y=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=-4$$