解決{l}{y=2x+3}{y=6x+15} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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y-2x=3

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y-6x=15

考慮第二個方程式。從兩邊減去 6x。

y-2x=3,y-6x=15

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y-2x=3

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=2x+3

將 2x 加到方程式的兩邊。

2x+3-6x=15

在另一個方程式 y-6x=15 中以 2x+3 代入 y在方程式。

-4x+3=15

將 2x 加到 -6x。

-4x=12

從方程式兩邊減去 3。

x=-3

將兩邊同時除以 -4。

y=2\left(-3\right)+3

在 y=2x+3 中以 -3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-6+3

2 乘上 -3。

y=-3

將 3 加到 -6。

y=-3,x=-3

現已成功解出系統。

y-2x=3

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y-6x=15

考慮第二個方程式。從兩邊減去 6x。

y-2x=3,y-6x=15

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-6-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-6-\left(-2\right)}&\frac{1}{-6-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 15\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 15\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)

計算。

y=-3,x=-3

解出矩陣元素 y 和 x。

y-2x=3

考慮第一個方程式。從兩邊減去 2x。

y-6x=15

考慮第二個方程式。從兩邊減去 6x。

y-2x=3,y-6x=15

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

y-y-2x+6x=3-15