解決{l}{y=-x-7}{5y+3x=-13} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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y+x=-7

考慮第一個方程式。新增 x 至兩側。

y+x=-7,5y+3x=-13

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y+x=-7

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=-x-7

從方程式兩邊減去 x。

5\left(-x-7\right)+3x=-13

在另一個方程式 5y+3x=-13 中以 -x-7 代入 y在方程式。

-5x-35+3x=-13

5 乘上 -x-7。

-2x-35=-13

將 -5x 加到 3x。

-2x=22

將 35 加到方程式的兩邊。

x=-11

將兩邊同時除以 -2。

y=-\left(-11\right)-7

在 y=-x-7 中以 -11 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=11-7

-1 乘上 -11。

y=4

將 -7 加到 11。

y=4,x=-11

現已成功解出系統。

y+x=-7

考慮第一個方程式。新增 x 至兩側。

y+x=-7,5y+3x=-13

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)

計算。

y=4,x=-11

解出矩陣元素 y 和 x。

y+x=-7

考慮第一個方程式。新增 x 至兩側。

y+x=-7,5y+3x=-13

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13

讓 y 和 5y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

5y+5x=-35,5y+3x=-13