解決{l}{y=-x-3}{y=-8x+4} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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y+x=-3

考慮第一個方程式。新增 x 至兩側。

y+8x=4

考慮第二個方程式。新增 8x 至兩側。

y+x=-3,y+8x=4

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y+x=-3

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=-x-3

從方程式兩邊減去 x。

-x-3+8x=4

在另一個方程式 y+8x=4 中以 -x-3 代入 y在方程式。

7x-3=4

將 -x 加到 8x。

7x=7

將 3 加到方程式的兩邊。

x=1

將兩邊同時除以 7。

y=-1-3

在 y=-x-3 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-4

將 -3 加到 -1。

y=-4,x=1

現已成功解出系統。

y+x=-3

考慮第一個方程式。新增 x 至兩側。

y+8x=4

考慮第二個方程式。新增 8x 至兩側。

y+x=-3,y+8x=4

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{1}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}\left(-3\right)-\frac{1}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)

計算。

y=-4,x=1

解出矩陣元素 y 和 x。

y+x=-3

考慮第一個方程式。新增 x 至兩側。

y+8x=4

考慮第二個方程式。新增 8x 至兩側。

y+x=-3,y+8x=4

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

y-y+x-8x=-3-4