解決{l}{y=-x+2}{x-2y=14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { x - 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

解 y, x

$$x=6$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+x=2,-2y+x=14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+x=2$$

從方程式兩邊減去 x。

$$y=-x+2$$

在另一個方程式 -2y+x=14 中以 -x+2 代入 y在方程式。

$$-2\left(-x+2\right)+x=14$$

-2 乘上 -x+2。

$$2x-4+x=14$$

將 2x 加到 x。

$$3x-4=14$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$3x=18$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=6$$

在 y=-x+2 中以 6 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-6+2$$

將 2 加到 -6。

$$y=-4$$

現已成功解出系統。

$$y=-4,x=6$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+x=2,-2y+x=14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 14\\\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-4,x=6$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+x=2,-2y+x=14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+x=2 減去 -2y+x=14。

$$y+2y+x-x=2-14$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+2y=2-14$$

將 y 加到 2y。

$$3y=2-14$$

將 2 加到 -14。

$$3y=-12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-4$$

在 -2y+x=14 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2\left(-4\right)+x=14$$

-2 乘上 -4。

$$8+x=14$$

從方程式兩邊減去 8。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$y=-4,x=6$$