解決{l}{y=-5x}{=-3y=3x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 5 x } \\ { = - 3 y = 3 x } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=0$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$y+5x=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$-3y-3x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+5x=0,-3y-3x=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+5x=0$$

從方程式兩邊減去 5x。

$$y=-5x$$

在另一個方程式 -3y-3x=0 中以 -5x 代入 y在方程式。

$$-3\left(-5\right)x-3x=0$$

-3 乘上 -5x。

$$15x-3x=0$$

將 15x 加到 -3x。

$$12x=0$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=0$$

在 y=-5x 中以 0 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$y+5x=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$-3y-3x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+5x=0,-3y-3x=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{-3-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-3-5\left(-3\right)}&\frac{1}{-3-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=0,x=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 5x 至兩側。

$$y+5x=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$-3y-3x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+5x=0,-3y-3x=0$$

讓 y 和 -3y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3y-3\times 5x=0,-3y-3x=0$$

化簡。

$$-3y-15x=0,-3y-3x=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3y-15x=0 減去 -3y-3x=0。

$$-3y+3y-15x+3x=0$$

將 -3y 加到 3y。 -3y 和 3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15x+3x=0$$

將 -15x 加到 3x。

$$-12x=0$$

將兩邊同時除以 -12。

$$x=0$$

在 -3y-3x=0 中以 0 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-3y=0$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=0$$

現已成功解出系統。

$$y=0,x=0$$