解決{l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$y+4x=-17$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+4x=-17$$

從方程式兩邊減去 4x。

$$y=-4x-17$$

在另一個方程式 6y-2x=2 中以 -4x-17 代入 y在方程式。

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

6 乘上 -4x-17。

$$-24x-102-2x=2$$

將 -24x 加到 -2x。

$$-26x-102=2$$

將 102 加到方程式的兩邊。

$$-26x=104$$

將兩邊同時除以 -26。

$$x=-4$$

在 y=-4x-17 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

-4 乘上 -4。

$$y=16-17$$

將 -17 加到 16。

$$y=-1$$

現已成功解出系統。

$$y=-1,x=-4$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$y+4x=-17$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-1,x=-4$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4x 至兩側。

$$y+4x=-17$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

讓 y 和 6y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

化簡。

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6y+24x=-102 減去 6y-2x=2。

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

將 6y 加到 -6y。 6y 和 -6y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24x+2x=-102-2$$

將 24x 加到 2x。

$$26x=-102-2$$

將 -102 加到 -2。

$$26x=-104$$

將兩邊同時除以 26。

$$x=-4$$

在 6y-2x=2 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

-2 乘上 -4。

$$6y+8=2$$

從方程式兩邊減去 8。

$$6y=-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-1$$

現已成功解出系統。

$$y=-1,x=-4$$