解決{l}{y=-2x}{4x+6y=24} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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y+2x=0

考慮第一個方程式。新增 2x 至兩側。

y+2x=0,6y+4x=24

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y+2x=0

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y=-2x

從方程式兩邊減去 2x。

6\left(-2\right)x+4x=24

在另一個方程式 6y+4x=24 中以 -2x 代入 y在方程式。

-12x+4x=24

6 乘上 -2x。

-8x=24

將 -12x 加到 4x。

x=-3

將兩邊同時除以 -8。

y=-2\left(-3\right)

在 y=-2x 中以 -3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=6

-2 乘上 -3。

y=6,x=-3

現已成功解出系統。

y+2x=0

考慮第一個方程式。新增 2x 至兩側。

y+2x=0,6y+4x=24

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 6}&-\frac{2}{4-2\times 6}\\-\frac{6}{4-2\times 6}&\frac{1}{4-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)

計算。

y=6,x=-3

解出矩陣元素 y 和 x。

y+2x=0

考慮第一個方程式。新增 2x 至兩側。

y+2x=0,6y+4x=24

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

6y+6\times 2x=0,6y+4x=24