解決{l}{y=-2x+13}{4x+8y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=7$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=13$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+2x=13$$

從方程式兩邊減去 2x。

$$y=-2x+13$$

在另一個方程式 8y+4x=20 中以 -2x+13 代入 y在方程式。

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

8 乘上 -2x+13。

$$-16x+104+4x=20$$

將 -16x 加到 4x。

$$-12x+104=20$$

從方程式兩邊減去 104。

$$-12x=-84$$

將兩邊同時除以 -12。

$$x=7$$

在 y=-2x+13 中以 7 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-2\times 7+13$$

-2 乘上 7。

$$y=-14+13$$

將 13 加到 -14。

$$y=-1$$

現已成功解出系統。

$$y=-1,x=7$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=13$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-1,x=7$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 2x 至兩側。

$$y+2x=13$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

讓 y 和 8y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

化簡。

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8y+16x=104 減去 8y+4x=20。

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

將 8y 加到 -8y。 8y 和 -8y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16x-4x=104-20$$

將 16x 加到 -4x。

$$12x=104-20$$

將 104 加到 -20。

$$12x=84$$

將兩邊同時除以 12。

$$x=7$$

在 8y+4x=20 中以 7 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$8y+4\times 7=20$$

4 乘上 7。

$$8y+28=20$$

從方程式兩邊減去 28。

$$8y=-8$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=-1$$

現已成功解出系統。

$$y=-1,x=7$$