解 y、x
x=4
y=-1
圖表
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y+\frac{1}{2}x=1
考慮第一個方程式。 新增 \frac{1}{2}x 至兩側。
y-\frac{1}{2}x=-3
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
y+\frac{1}{2}x=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
y=-\frac{1}{2}x+1
從方程式兩邊減去 \frac{x}{2}。
-\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x=-3
在另一個方程式 y-\frac{1}{2}x=-3 中以 -\frac{x}{2}+1 代入 y在方程式。
-x+1=-3
將 -\frac{x}{2} 加到 -\frac{x}{2}。
-x=-4
從方程式兩邊減去 1。
x=4
將兩邊同時除以 -1。
y=-\frac{1}{2}\times 4+1
在 y=-\frac{1}{2}x+1 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=-2+1
-\frac{1}{2} 乘上 4。
y=-1
將 1 加到 -2。
y=-1,x=4
現已成功解出系統。
y+\frac{1}{2}x=1
考慮第一個方程式。 新增 \frac{1}{2}x 至兩側。
y-\frac{1}{2}x=-3
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\1-\left(-3\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)
計算。
y=-1,x=4
解出矩陣元素 y 和 x。
y+\frac{1}{2}x=1
考慮第一個方程式。 新增 \frac{1}{2}x 至兩側。
y-\frac{1}{2}x=-3
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
y+\frac{1}{2}x=1,y-\frac{1}{2}x=-3
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y+\frac{1}{2}x=1 減去 y-\frac{1}{2}x=-3。
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=1+3
將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
x=1+3
將 \frac{x}{2} 加到 \frac{x}{2}。
x=4
將 1 加到 3。
y-\frac{1}{2}\times 4=-3
在 y-\frac{1}{2}x=-3 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y-2=-3
-\frac{1}{2} 乘上 4。
y=-1
將 2 加到方程式的兩邊。
y=-1,x=4
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}