解 y, x
x=4
y=-2
圖表
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y-\frac{1}{2}x=-4
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
y+\frac{1}{4}x=-1
考慮第二個方程式。 新增 \frac{1}{4}x 至兩側。
y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
y-\frac{1}{2}x=-4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
y=\frac{1}{2}x-4
將 \frac{x}{2} 加到方程式的兩邊。
\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1
在另一個方程式 y+\frac{1}{4}x=-1 中以 \frac{x}{2}-4 代入 y在方程式。
\frac{3}{4}x-4=-1
將 \frac{x}{2} 加到 \frac{x}{4}。
\frac{3}{4}x=3
將 4 加到方程式的兩邊。
x=4
對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
y=\frac{1}{2}\times 4-4
在 y=\frac{1}{2}x-4 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=2-4
\frac{1}{2} 乘上 4。
y=-2
將 -4 加到 2。
y=-2,x=4
現已成功解出系統。
y-\frac{1}{2}x=-4
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
y+\frac{1}{4}x=-1
考慮第二個方程式。 新增 \frac{1}{4}x 至兩側。
y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)
計算。
y=-2,x=4
解出矩陣元素 y 和 x。
y-\frac{1}{2}x=-4
考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。
y+\frac{1}{4}x=-1
考慮第二個方程式。 新增 \frac{1}{4}x 至兩側。
y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-\frac{1}{2}x=-4 減去 y+\frac{1}{4}x=-1。
-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1
將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{3}{4}x=-4+1
將 -\frac{x}{2} 加到 -\frac{x}{4}。
-\frac{3}{4}x=-3
將 -4 加到 1。
x=4
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
y+\frac{1}{4}\times 4=-1
在 y+\frac{1}{4}x=-1 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y+1=-1
\frac{1}{4} 乘上 4。
y=-2
從方程式兩邊減去 1。
y=-2,x=4
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}